Les mathématiques financières jouent un rôle déterminant sur les marchés financiers, avec leur avantage de modélisation et leur inconvénient de capacité à terme.
mathématiques financières

Quel est le rôle des mathématiques financières sur les marchés ?

Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées, ayant pour objectif la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant sur les marchés financiers dans leurs ensembles. Elles utilisent principalement des outils issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.

L’origine des mathématiques financières.

Les probabilités sont utilisées depuis plusieurs siècles. Louis Bachelier, mathématicien français, considéré comme le fondateur des mathématiques financières en faisait déjà référence dans sa thèse de doctorat intitulée : Théorie de la spéculation en 1900.La théorie financière remonte à l'étude du problème d’évaluation des options dans les années 1950-1970.

L'observation empirique du cours des actifs financiers montre que ceux-ci ne sont pas déterminés de façon certaine par leur histoire. En effet, les nombreuses opérations d'achat ou de

L’utilisation des p vente ne sont pas prévisibles, et font souvent intervenir des éléments n'appartenant pas à l'historique et qui modifient le cours de l'actif. Celui-ci est donc souvent représenté par un processus stochastique. Benoit Mandelbrot a établi par des considérations statistiques qu'un modèle aléatoire ordinaire, par exemple gaussien, ne pouvait convenir. L'aléa reste cependant souvent modélisé par un mouvement brownien, bien que des modèles plus élaborés (par exemple, le modèle de Bates) tiennent compte de la non-continuité des cours (présence de sauts (gaps) dus à des chocs boursiers), ou de la non-symétrie des mouvements à la baisse et à la hausse.

 Probabilité risque-neutre, hypothèses de non arbitrage.

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés financiers est l'existence et l'unicité à équivalence près d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou « probabilité risque-neutre » telle que le processus des prix actualisés des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interpréter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre: aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

Un processus stochastique est une martingale par rapport à un ensemble d'information si son espérance en date conditionnelle a l'information disponible. Ce processus est aléatoire et dynamique.

Taux d'intérêt et dérivés de taux.

Les modèles simples supposent que le taux d’intérêt, c'est-à-dire le loyer de l'argent est constant. Cette hypothèse est centrale, car sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, un portefeuille non risqué rapporte ce taux d'intérêt. Or cette approximation n'est évidemment plus admissible dès que le cours de l'actif est essentiellement lié au niveau du taux d'intérêt (par exemple, le cours des obligations à taux variable, des swaptions...) ne peuvent être expliqués par un modèle à taux d'intérêt fixe.

Les dérivés de crédit sont des produits dérivés dont les flux dépendent d'événements de crédits intervenant sur un sous-jacent. Ces produits servent à prévenir la dégradation de la qualité de signature d'une contrepartie, c'est-à-dire son aptitude à assumer ses obligations de paiement ("CDS"'ou Credit default swap, "CLN" ou "Credit linked Notes"). Ils peuvent servir également à améliorer la qualité de signature d'une partie d'un panier d'actifs (« CDOS " ou    "Collateralized debt obligations " en français obligation adossée à des actifs).

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